Kurt Fiebig betätigte sich als Kirchenmusiker, Komponist und Musikpädagoge. 1931 gewann er den Felix-Mendelssohn-Bartholdy-Preis für Komposition.
Kurt Fiebig erhielt mit sechs Jahren seinen ersten Klavierunterricht. Er fasste früh den Entschluss das Orgelspiel zu erlernen und Kirchenmusiker zu werden. Es folgte Unterricht in Theorie, Harmonielehre und Kontrapunkt bei Rudolf Fischer. Das Orgelspiel eignete sich Fiebig selbst an und versah bald große Teile des Organistendienstes. Bei Arnold Dreyer erhielt er eine Unterweisung im künstlerischen Orgelspiel. Danach folgte ein Studium an der Berliner Akademischen Hochschule für Musik bei Curt Sachs (Instrumentenkunde), Max Seiffert (Alte Musik) und George Szell (Partiturspiel); später absolvierte er ein Studium an der Preußischen Akademie der Künste. 1931 gewann er den Felix-Mendelssohn-Bartholdy-Preis für Komposition. In dieser Zeit errang er auch ersten öffentlichen Erfolge als Komponist. Von 1933 bis 1936 betätigte er sich als Kantor und Organist an St. Elisabeth in Berlin. 1936 wurde er Domorganist in Quedlinburg und gleichzeitig Dozent an der Kirchenmusikschule in Aschersleben, die 1938 nach Halle/Saale verlegt wurde. 1941 übernahm Kurt Fiebig die Leitung der Kirchenmusikschule Halle/Saale, die er auch nach Kriegsende behielt. 1951 verließ Fiebig die DDR und ging nach Hamburg. Dort wirkte er als Kirchenmusiker an der Gnadenkirche in St. Pauli (1951-1968) und an der Kirche St. Ansgar in Langenhorn (1969-1974). Von 1960 bis 1980 lehrte er Gehörbildung, Tonsatz und Komposition an der Kirchenmusikabteilung der Hochschule für Musik Hamburg. In der Zeit des Wechsels von Halle nach Hamburg entstand eines seiner Hauptwerke, die Markus-Passion für zwei Chöre a cappella und Solisten. In Hamburg komponierte Kurt Fiebig weitere Kirchenmusiken: das ‘Osteroratorium’, das ‘Adventsoratorium’ (Verkündigung), die ‘Messe Media Vita’, den Liederzyklus ‘Jahrkreis der Liebe’ und die Kantate ‘Et unam sanctam’, um nur die wichtigsten zu nennen. Am bekanntesten wurde seine Markus-Passion.
Kurt Fiebig komponierte außer Kirchenmusik auch weltliche Kantaten, Kammermusik und Filmmusik.
